folgt: 6.2 Interne Wellen hinauf: 6. Turbulenz in stabil vorher: 6. Turbulenz in stabil

6.1 Grundgleichungen

Auf die aus [110] und [111] bekannten Grundgleichungen der Strömungsmechanik soll hier nur insofern eingegangen werden, als sich durch die Anwesenheit eines absinkenden Sediments Besonderheiten ergeben. Diese Beziehungen gelten dann auch für die Salzkonzentration, wenn die Sinkgeschwindigkeit zu Null gesetzt wird.

Die Kontinuitätsgleichung, mit der die Massenerhaltung formuliert wird, muss hier erweitert werden, da sich Massenströme auch infolge von Diffusion und Absinken ergeben. Bereits zu Beginn dieser Herleitungen wird vorausgesetzt, dass das suspendierte Sediment der Strömung bis auf ein langsames Sinken schlupffrei folgt. Sinkt nun z. B. ein Sedimentpartikel über eine Grenze in ein Kontrollvolumen hinein, tauscht sozusagen mit dem dort bisher vorhandenen Wasser seinen Platz, dann steigt die Gesamtmasse im Kontrollvolumen aufgrund der Dichtedifferenz zwischen Sediment und Wasser. Die Kontinuitätsgleichung lautet dann:

$$\underbrace{ \frac{\partial\rho}{\partial t} }_{1} + \under... ...l c \left(\rho_{s}-\rho_{w}\right)}{\partial x_{i}} }_{4} = 0$$ (6.1)

mit

	Zeit,
	Index, der die 3 Komponenten eines orthonormalen Koordinatensystems
	bezeichnet (EINSTEIN-Summations-Konvention) ,
	Dichte der Suspension,
	Dichte des Sediments,
	Dichte des Wassers,
	momentane Geschwindigkeit der Suspension,
	Sinkgeschwindigkeit des Sediments,
	Konzentration als Volumenanteil des Sediments und
	Diffusivität.

Die Terme 1 bis 4 stellen folgende Phänomene dar:

1	lokale Änderung der Dichte,
2	konvektive Änderung der Dichte,
3	Dichteänderung infolge Diffusion und
4	Dichteänderung infolge Sinken.

Setzt man nun den folgenden Zusammenhang zwischen Suspensionsdichte und Konzentration

$$\rho=\rho_{w} + c \left(\rho_{s}-\rho_{w}\right)$$ (6.2)

in Gl. (6.1) ein, erhält man nach Umformung folgende Beziehung:

$$\rho\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}} + \left(\rho_{s}-\... ... x_{i}} + w_{s.i}\frac{\partial c}{\partial x_{i}} \right\} =0$$ (6.3)

Der Ausdruck in den geschweiften Klammern von Gl. (6.3) stellt nun die Erhaltungsgleichung für die Sedimentfraktion dar.

$$\frac{\partial c}{\partial t} + v_{i}\frac{\partial c}{\part... ...{\partial x_{i}} + w_{s.i}\frac{\partial c}{\partial x_{i}} =0$$ (6.4)

Somit ergibt sich auch in inkompressiblen Suspensionen aus der Massenerhaltung die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes.

$$\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}} =0$$ (6.5)

Die Impulsgleichungen müssen um je einen Term erweitert werden, der die Impulsübertragung infolge Absinkens darstellt. Wenn z. B. ein Sedimentpartikel aus einer Wasserschicht mit höherer Geschwindigkeit in eine Schicht mit niedrigerer Geschwindigkeit absinkt, dann nimmt es dabei seinen Impuls mit, genauso wie das Wasservolumen, mit dem es seinen Platz tauscht. Derselbe Mechanismus findet statt, wenn der Massenaustausch durch Diffusion hervorgerufen wird. Diese ist aber so klein, dass ihr Einfluss auf den Impulsaustausch bereits vorab vernachlässigt wird. Die Impulsgleichungen lassen sich dann wie folgt darstellen:

$$\frac{\partial \left( \rho v_{i} \right)}{\partial t} + \fra... ...{j}} \left( \mu \frac{\partial v_{i} }{\partial x_{j} }\right)$$ (6.6)

mit

	Indizes der drei Raumrichtungen
	Fallbeschleunigung (Vektorkomponenten),
	Druck,
	dynamische Viskosität,

In dieser Gl. sind die Größen , , , und orts- und zeitabhängig, während und als konstant angesetzt werden. Durch Einsetzen der Stofftransportgleichung (6.4) ergibt sich nach Umformung:

$$\frac{\rho}{\rho_{w}} \frac{\partial v_{i} }{\partial t} + \... ...ght)} {\rho}\right) \frac{\partial v_{i} }{\partial x_{j}} - =$$

$$g_{i} + g_{i} c \frac{ \left(\rho_{s}-\rho_{w} \right)}{\rho... ...{j}} \left(\mu \frac{\partial v_{i} }{\partial x_{j} }\right)$$ (6.7)

Die BOUSSINESQ-Approximation [42] führt dazu, den Einfluss der Konzentration in den Impulsgleichungen auf den mit der Fallbeschleunigung verknüpften Term (engl. buoyancy) zu beschränken. Die dazu notwendigen Annahmen lassen sich aus obiger Gl. ersehen: Das Verhältnis von Suspensionsdichte zu Wasserdichte muss näherungsweise 1 ergeben, die Viskosität muss unabhängig von der Konzentration sein und das Produkt aus Sinkgeschwindigkeit und Konzentration muss klein gegenüber den vertikalen Geschwindigkeiten sein.

Für die im Wasser auftretenden Konzentrationen von 200 mg/l beträgt , siehe Abschnitt 4.3. Mit einer Sinkgeschwindigkeit von 1 mm/s ergibt sich . Die BOUSSINESQ-Approximation ist also in guter Näherung erfüllt. Bei HCMS-Schichten, siehe Abschnitt 5.3, ist infolge der vergrößerten Trägheit, , bereits ein signifikanter Einfluss zu erwarten. Das laminare Fließen von Fluid-Mud kann ohne Berücksichtigung der konzentrationsabhängigen Viskosität [62] nicht mehr realistisch vorhergesagt werden.

Eine Abschätzung des Gültigkeitsbereichs der BOUSSINESQ-Approximation liefert [42], der sich aber nur auf die Temperatur als Ursache für Dichteänderungen in Luft und Wasser beschränkt. folgt: 6.2 Interne Wellen hinauf: 6. Turbulenz in stabil vorher: 6. Turbulenz in stabil