folgt: 6.5 REYNOLDS-Spannungen hinauf: 6. Turbulenz in stabil vorher: 6.3 Instabilität

6.4 REYNOLDS-Mittelung der Grundgleichungen

Hier folgt nun die Aufspaltung der Strömungsgrößen in einen mittleren und einen infolge Turbulenz schwankenden Anteil. Details dieses Mittelungsvorgangs werden von ROTTA [106] dargestellt. Wegen der hier notwendigen zeitlichen Mittelung gelten die Gleichungen in diesem Abschnitt streng genommen nur noch für stationäre Strömungen, sind aber in guter Näherung noch auf Strömungen anwendbar, in denen sich die mittleren Strömungsgrößen langsam ändern verglichen mit den turbulenten Schwankungen. Die Mittelung der Impulsgleichungen Gl.(6.6) führt zu den sogenannten REYNOLDS-Gleichungen. Die genaue Herleitung ist von [106], [110], [111] und [143] dargelegt worden. Hier liegt der Schwerpunkt bei dem Einfluss der variablen Dichte infolge Suspensions-Konzentration. Für alle Darstellungen in diesem Absatz gilt die BOUSSINESQ-Approximation (siehe Abschnitt 6.1). Die REYNOLDS-Gleichungen lauten dann wie folgt:

$\begin{displaymath} \frac{\partial \overline{v_{i}} }{\partial t} + \overline{v... ...x_{j} } -\overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime} } \right) \end{displaymath}$

(6.11)

mit

$\nu$	kinematische Viskosität ( $\nu=\frac{\mu }{ \rho_{w} }$ ) und
$-\overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime} }$	REYNOLDS-Spannungstensor.

Die REYNOLDS-gemittelte Stofftransportgleichung ergibt sich wie folgt:

$\begin{displaymath} \frac{\partial \overline{c} }{\partial t} + \overline{v_{i}}... ...right)+ w_{s.i}\frac{\partial \overline{c}}{\partial x_{i}} =0 \end{displaymath}$

(6.12)

mit

$D$	Diffusivität und
$\overline{ c^{\prime} v_{i}^{\prime} }$	turbulenter Stoffstrom.

Die von WILCOX [143] dargestellte Methodik wird hier angewendet, um die Transportgleichung für den REYNOLDS-Spannungstensor unter Berücksichtigung einer schwankenden Konzentration herzuleiten. Es ergibt sich^6.4:

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \underbrace{ \frac{\partial \overline{ v_{i... ...ac{\partial v_{j}^{\prime}}{\partial x_{i}}} }_{7} \end{array}\end{displaymath}$

(6.13)

Die Terme 1 bis 7 stellen folgende Phänomene dar:

1	lokale Änderung,
2	Konvektion,
3	Produktion $P_{ij}$ ,
4	Diffusion $d_{ij}$ ,
5	Dissipation $\epsilon_{ij}$ .
6	Buoyancy $B_{ij}$ und
7	Druck-Scher-Korrelation $\Phi_{ij}$ .

Aus der Spur des REYNOLDS-Spannungstensors berechnet sich die spezifische kinetische Energie k der turbulenten Schwankungsbewegung:

$\begin{displaymath} k=\frac{1}{2} \left( \overline{ v_{i}^{\prime} v_{i}^{\prime} } \right) \end{displaymath}$

(6.14)

Bildet man die Spur von Gl. (6.13), erhält man die Transportgleichung der kinetischen Energie k der turbulenten Schwankungsbewegung:

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \underbrace{ \frac{\partial k }{\partial t}... ...w}} g_{i}\overline{v_{i}^{\prime} c^{\prime}} }_{6} \end{array}\end{displaymath}$

(6.15)

Die Terme 1 bis 5 stellen folgende Phänomene dar:

1	lokale Änderung,
2	Konvektion,
3	Produktion P,
4	Diffusion d,
5	Dissipation $\epsilon$ und
6	Buoyancy B.

folgt: 6.5 REYNOLDS-Spannungen hinauf: 6. Turbulenz in stabil vorher: 6.3 Instabilität

Jens WYRWA * 2003-11-05