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7.1 Grundgleichungen

Das k--Modell ist das am weitesten verbreitete 2-Gleichungs-Turbulenzmodell [89]. In diesem Abschnitt werden daher lediglich die Differentialgleichungen, aus denen das Modell besteht, angegeben. Hier wird diejenige Formulierung für dichtegeschichtete Fluide benutzt, die auch WINTERWERP [142] verwendet:

$$\underbrace{ \frac{\partial k}{\partial t} }_{1} + \underbr... ...c{\nu_{t}}{Sc_{t}} \frac{\partial \rho }{\partial x_{i}} }_{6}$$ (7.1)

$$\underbrace{ \frac{\partial \epsilon}{\partial t} }_{1} + \... ...c{\nu_{t}}{Sc_{t}} \frac{\partial \rho }{\partial x_{i}} }_{6}$$ (7.2)

mit

P	Produktion von k, im Weiteren näher beschrieben,
, , ,	Modellkonstanten, siehe Abschnitt 9.3.5 und
	turbulente SCHMIDT-Zahl, siehe Gl. (2.10),
	ebenfalls Modellkonstante.

Die Terme 1 bis 6 stellen dar:

1	lokale Änderung,
2	Konvektion,
3	Produktion,
4	Diffusion,
5	Dissipation und
6	Buoyancy.

In stabil dichtegeschichteten Fluiden ist der Wert =1 zutreffend [104], [142]. Damit entfällt der Buoyancy-Term in der -Gleichung (Term 6 in Gl. (7.2)).

Zur Schließung der in Gl.(6.11) auftretenden REYNOLDS-Spannungen wird beim k--Modell bekanntlich [104] der folgende BOUSSINESQ-Ansatz^7.1 vorgenommen:

$$-\overline{ v_{i}^{\prime} v_{j}^{\prime} }= \nu_{t} \left(\... ...c{\partial v_j}{\partial x_i}\right) -\frac{2}{3}k\delta_{ij}$$ (7.3)

wobei sich die Wirbelviskosität wie folgt berechnet:

$$\nu_{t}=c_{\mu} \frac{k^2}{\epsilon}$$ (7.4)

mit

Modellkonstante, siehe Abschnitt 9.3.5.

Wird dieser Ansatz in den Produktionsterm (Term 3) von Gl. (6.15) eingesetzt, ergibt sich für die Produktion:

$$P=\nu_{t} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \fr... ...{\partial x_{i}} \right) \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}$$ (7.5)

Dies ist der Ansatz des Standard-k--Modells für die Produktion. Auf die Problematik dieses Ansatzes wird in Abschnitt 7.2 näher eingegangen. Dort ist auch der modifizierte Ansatz nach KATO und LAUNDER [57], den das Programm ,,casu`` verwendet, beschrieben.

Auf der Basis des k--Modells lassen sich die folgenden charakteristischen Größen der Turbulenz berechnen:

Die turbulente Geschwindigkeit [89]

$$v_t=\sqrt{2k} \qquad \mbox{,}$$ (7.6)

die Makrolänge der Turbulenz [143], siehe auch Gl. (6.24),

$$L_{t}=\frac{k^{3/2}}{\epsilon} \cdot c_{\mu}$$ (7.7)

und der Turbulenzgrad [110]:

$$Tu=\frac{\sqrt{ \frac{2}{3} k}}{\overline{v}}$$ (7.8)

mit

Betrag der mittleren Geschwindigkeit.

Aus den obigen Größen lassen sich die folgenden ableiten:

Die turbulente Zeitskala

$$t_{t}=\frac{L_{t}}{v_t}=\frac{k}{\epsilon} \cdot \frac{c_{\mu}}{\sqrt{2} }$$ (7.9)

und die turbulente REYNOLDS-Zahl, siehe Gl. (6.23),

$$Re_{t}= \frac{L_{t} \cdot v_t}{\nu}= \frac{\nu_t}{\nu} \cdot \sqrt{2} \qquad \mbox{.}$$ (7.10)

Bezüglich der funktionalen Abhängigkeit der obigen Größen von k und herrscht Einigkeit. In Hinsicht auf die verwendeten Konstanten finden sich unterschiedliche Formulierungen in der Literatur [38], [51] und [143]. folgt: 7.2 Staupunkt-Anomalie hinauf: 7. Turbulenzmodell vorher: 7. Turbulenzmodell