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8.2.1 2D-Basis-Algorithmus

Die Darstellungen in Bild 11, Bild 12 und Bild 13 dienen dem Zweck, den Kern des CASULLI-Verfahrens zu vermitteln.

Bild 11, erläutert die Begriffe ,,Element``, ,,Knoten``, ,,Kante`` und ,,Zelle``. Desweiteren zeigt das Bild die versetzte Diskretisierung von Wasserspiegelhöhe (an den Knoten) und Geschwindigkeit (jeweils auf der Kantenmitte zwischen zwei Knoten). Auf die Besonderheiten des im Bild darüber hinaus noch dargestellten Übergangs vom Rechtecknetz zum Netz aus beliebigen drei- und viereckigen Elementen wird in Abschnitt 8.3.1 eingegangen.

Der CASULLI-Algorithmus macht es sich zunutze, dass die wichtigsten Anteile der Kraftbilanz am Fluidpartikel bei flachen Oberflächengewässern^8.3 das Wasserspiegelgefälle und die Sohlreibung sind. Alle anderen Anteile, also auch die Konvektion und die horizontale Reibung, werden zunächst erst einmal außer Acht gelassen. Bild 12 und zeigt die daraus entstehende Gleichung:

$$\frac{v_{p.k}-v_{p.k-1}}{\Delta t} = - g \frac{z_{s.k.e}-z_{... ...left\vert \underline{v}_{k-1} \right\vert } {8 \cdot h_{k-1}}$$ (8.1)

mit

	Geschwindigkeitsvektor 2D horizontal, tiefengemittelt,
	Zeitschrittweite,
g	Fallbeschleunigung,
z	geodätische Höhe,
	Kantenlänge, Ortsschrittweite,
	Reibungsbeiwert,
h	Wassertiefe,
Indizes
k, k-1	aktueller Zeitschritt, vorangegangener Zeitschritt,
a, e	Knoten am Anfang und am Ende der Kante,
p, n	Geschwindigkeitskomponente parallel und normal
	zur Kantenrichtung und
s	Wasserspiegelhöhe, s surface.

CASULLI bezeichnet sein Verfahren als semi-implizite Finite-Differenzen-Methode [20]. Die Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung lässt sich aber auch im Sinne der Finite-Volumen-Methode als Bilanz der Volumenflüsse über den Rand einer Zelle verstehen, in deren Mitte sich ein Knoten befindt und deren Ränder die Kanten mittig schneiden (also an den Stellen, an denen die Geschwindigkeiten diskretisiert sind). Bild 13 zeigt die daraus entstehende Kontinuitätsgleichung für die Zelle:

$$A \frac{z_{s.k}-z_{s.k-1}}{\Delta t} + \sum_{i=1}^{N} v_{p.k.i} \cdot d_{i} \cdot h_{k-1.i} =0$$ (8.2)

mit

A	Zellfläche, umrandet von ,
N	Anzahl der mit dem Knoten verbundenen Kanten,
	der Zellrandabschnitte,
d	Länge des Zellrandabschnitts,
Indizes
i	Nummer der Kante, des Zellrandabschnitts.

Gl. (8.1) wird nach der aktuellen Geschwindigkeit aufgelöst und in Gl. (8.2) eingesetzt. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem, in dem die Wasserspiegelhöhe im aktuellen Zeitschritt an einem Knoten nur abhängt von den aktuellen Wasserspiegelhöhen an den benachbarten Knoten, über die selbiger Knoten mit Kanten verbunden ist, und von Größen aus dem zuvor berechneten Zeitschritt k-1. Dies ist der Kern des Verfahrens. Er besteht darin, in jedem Zeitschritt lediglich die Lage des Wasserspiegels zu berechnen. Der herausragende Vorteil liegt darin, dass zur Berechnung dieses Wasserspiegels lediglich ein Gleichungssystem mit den folgenden Eigenschaften gelöst werden muss [20]:

• symmetrisch,
• schwach besetzt,
• streng diagonal-dominant,
• positiv definit und
• nur ca. die Hälfte der Freiheitsgrade enthaltend.

Es handelt sich also um ein Gleichungssystem, für das sehr effiziente Lösungsverfahren existieren. Sämtliche Erweiterungen des Basis-Algorithmus, auch die in dieser Arbeit neu hinzukommenden, sind so angelegt, dass der Kern des Verfahrens bewahrt wird. Das Verfahren ist streng massenerhaltend, weil das Gleichungssystem für den Wasserspiegel durch Einsetzen in die Kontinuitätsgleichung erzeugt wird.

Die Berechnung der Geschwindigkeiten erfolgt, nachdem der Wasserspiegel berechnet worden ist, aus der Impulsaussage Gl. (8.1) für jede Kante einzeln mit vergleichbar geringem numerischen Aufwand.

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