folgt: 9.3.4 Ebene Scherschicht hinauf: 9.3 Turbulenzmodell vorher: 9.3.2 Oscillating-Grid-Tank

9.3.3 Logarithmisches Wandgesetz

In diesem Testfall wird die Schicht, in der das logarithmische Wandgesetz gilt, isoliert betrachtet. Das logarithmische Wandgesetz wurde in Abschnitt 2.2.1 eingeführt. In diesem Zusammenhang sei auch auf die Ausführungen im letzten Absatz von Abschnitt 6.8 verwiesen. Ein wesentlicher Zweck von Turbulenzmodellierung ist die Berechnung von Wandreibung. Daher macht es Sinn, für alle Turbulenzmodelle zu untersuchen, wie genau sie Wandgrenzschichten mit den darin vorkommenden Bereichen logarithmischer Geschwindigkeitsverteilung erfassen können. WILCOX [143] zeigt für 2-Gleichungs-Modelle, inwieweit diese Untersuchungen auf analytischem Wege möglich sind. Mit der Grenzschichtannahme und der Annahme einer konstanten Schubspannung^9.7 lässt sich das k--Modell Gln. (7.1) und (7.2) wie folgt reduzieren [143]:

$$0= c_{\mu} \cdot \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} \ri... ...lon } \cdot \frac{\partial k}{\partial z} \right) - \epsilon$$ (9.21)

$$0= c_{\mu} \cdot c_{1 \epsilon} \cdot k \cdot \left( \fra... ...}{\partial z} \right) - c_{\epsilon 2} \frac{\epsilon^{2}}{k}$$ (9.22)

Es bleiben also die Produktions-, Diffusions- und Dissipationsterme übrig. Da die Diffusions- und Dissipationsterme in den vorangegangenen Tests überprüft worden sind, lässt sich an diesem Testfall also erproben, ob die Produktionsterme den Erwartungen entsprechend funktionieren.

Die Erwartungen für diesen Fall resultieren aus der von WILCOX [143] angegebenen Lösung:

$$k=\frac{ {v_{\tau}}^2 }{ \sqrt{c_{\mu}} } \qquad \mbox{,}$$ (9.23)

$$\epsilon=\frac{ {v_{\tau}}^3 }{\kappa \cdot z} \qquad \mbox{,}$$ (9.24)

$$v_x=\frac{ v_{\tau} }{\kappa} \cdot \ln z + A$$ (9.25)

mit

	Schubspannungsgeschwindigkeit und
	Integrationskonstante.

Dabei ergibt sich für die KARMAN-Konstante :

$${\kappa}^2 = \sqrt{c_{\mu}} \left( c_{\epsilon 2} - c_{\epsilon 1}\right) \cdot \sigma_{\epsilon}$$ (9.26)

mit

, , und

Modellkonstanten.

Die hier vorgenommene Implementierung des Turbulenzmodells führt ohne weitere Angabe von Randbedingungen an der Wasseroberfläche zu einem Verschwinden der vertikalen Flüsse der Turbulenzgrößen, d.h. die vertikalen Gradienten von k und sind an der Wasseroberfläche Null. Am oberen Rand der in diesem Abschnitt berechneten Schicht, bei dem es irreführend wäre, diesen Rand Wasseroberfläche zu nennen, verschwindet aber der diffusive Fluss der Dissipationsrate nicht. Daher ist im Testfall dieses Abschnitts die Dissipationsrate am oberen Rand gemäß der analytischen Lösung Gl. (9.24) fest vorgegeben worden.

Geschwindigkeiten und Turbulenzgrößen werden auf zueinander versetzten Netzen diskretisiert, zudem ist die Gewässersohle nicht mit einem Knoten identifiziert, sondern unabhängig vom Netz vorgegeben, siehe Kapitel 8. Daher werden die Gln. (9.23) bis (9.25) auch dazu benutzt, den Abstand zwischen der tatsächlichen Sohle und dem sohlnächsten Diskretisierungspunkt zu überbrücken.

Um eine Schicht mit konstanter Schubspannung zu erhalten, ist am oberen Rand des Berechnungsgebiets eine Schubspannung von 30 N/ in Längsrichtung des diskretisierten geraden Kanals mit ebener Sohle vorgegeben worden. Am Zu- und Auslauf ist derselbe Wasserstand von 2,0 m vorgegeben. In diesem Testfall wurde die Konvektion der Turbulenzgrößen ausgestaltet, so dass sich an jeder Vertikalen identische Resultate ergeben.

Bild 30a zeigt die Verteilung der Dissipationsrate und Bild 30b die Verteilung der Wirbelviskosität in Abhängigkeit des Sohlabstands z. Diese können von ,,casu`` problemlos reproduziert werden. In Bild 31 sind die Verläufe der Geschwindigkeit in Kanallängsrichtung dargestellt. Durch einen ,,unnatürlich`` großen Reibungsbeiwert wurde die Geschwindigkeit in Sohlnähe nahe Null gebracht. Bild 31a visualisiert die Geschwindigkeiten in der gesamten Schicht. Bild 31b zeigt als Ausschnitt die Geschwindigkeiten im sohlnahen Teil der Vertikalen. In der Berechnung, deren Ergebnisse Bild 31c zeigt, sind in der vertikalen Diskretisierung in unmittelbarer Sohlnähe zwei zusätzliche Berechnungspunkte eingefügt worden. Das führt dazu, dass keine nennenswerten Abweichungen zur analytischen Lösung mehr auftreten. Diese Verfeinerung zeigt aber auch, dass zur korrekten Simulation der großen Krümmungen des Geschwindigkeitsprofils in Sohlnähe eine feine Diskretisierung erforderlich ist.

Dieser Testfall hat die Kennung ,,loglaw`` in der bereits angegebenen Quelle http://www.wyrwa.de/casu/test. folgt: 9.3.4 Ebene Scherschicht hinauf: 9.3 Turbulenzmodell vorher: 9.3.2 Oscillating-Grid-Tank